Двоичная система счисления

Автор: Ермолов К. А.

Октябрь 2019 года.

Система счисления, которой пользуется большинство людей называется десятичной, поскольку в ней используется всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этих цифр строятся все остальные числа. В десятичной системе счисления эти цифры показывают количество единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д. Например в числе 5897 содержится 7 единиц, 9 десятков, 8 сотен и 5 тысяч. Справа находится самый младший разряд – единицы. Каждый следующий разряд при движении справа налево имеет вес в 10 раз больше предыдущего 10, 100, 1000, 10000 и так далее до бесконечности.

Однако, большинство электронных устройств не могут работать с десятичной системой счисления, иначе эти устройства были бы очень сложными и малопроизводительными. Электронные устройства, как правило, могут находиться в двух устойчивых состояниях – высокий уровень (например, +5 Вольт) и низкий уровень (0 Вольт), поэтому они используют двоичную систему счисления. Как следует из названия, в этой системе счисления есть только две цифры – 0 и 1. С помощью этих двух цифр получаются все числа. По аналогии с десятичной системой счисления, самый правый разряд показывает количество единиц, второй справа разряд – количество двоек, третий – количество четверок, четвертый – восьмерок и т.д. Таким образом каждый следующий разряд имеет вес в 2 раза больше предыдущего: 2, 4, 8, 16 и т.д.

Например, двоичное число 1011 указывает, что в нем есть 1 единица, 1 двойка, 0 четверок и 1 восьмерка. Значит это число соответствует десятичному числу 11 (1×1 + 1×2 + 0×4 + 1×8=11). Таким же образом можно любое другое двоичное число перевести в десятичное.

Пример: Дано двоичное число 11011001. Необходимо перевести его в десятичную систему счисления.

Решение: начнем счет справа. В числе имеется 1 единица, 0 двоек, 0 четверок, 1 восьмерка и т.д. Вычислим десятичное значение этого числа: 1×1 + 0×2 + 0×4 + 1×8 + 1×16 + 0×32 + 1×64 + 1×128 = 1 + 0 + 0 + 8 + 16 + 0 + 64 + 128 =217.

Рассмотрим метод перевода числа из десятичной в двоичную форму. Для этого возьмем число из предыдущего примера – 217. Чтобы перевести его в двоичный формат, необходимо делить это число на 2 с остатком до тех пор, пока не получится ноль: при первом делении на 2 мы получаем число 108 и остаток 1. Далее число 108 делим на 2, получаем 54 и остаток 0. Далее 54 делим на 2, получаем 27 и остаток 0. Потом 27 делим на 2, получаем 13 и остаток 1. 13:2 = 6 и остаток 1. 6:2 = 3 и остаток 0. 3:2 = 1 и остаток 1. 1:2 = 0 и остаток 1. Результат запишем в таблицу:

 Теперь нужно остатки от деления записать, начиная с конца: 11011001. В результате мы получили исходное двоичное число из предыдущего примера.